简介

精彩点评

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  lr

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  书中向我们传达的道理之一是我们应该进行逻辑性的思考。引用书中一句话，“数学是一门建立在看穿事物本质精神上的学问，此外书中不乏有哲学的身影，其实哲学和数学有很多联系。

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  荣伟喆

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  一脸懵逼的开始，一脸懵逼的结束。逻辑之美，理性之美，真实就是美丽。

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  Fan

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  作者很用心，例证丰富，深入浅出。数学是美的，是无声的melody。算是比较好的入门级的大众科普，推荐给初高中学生们。

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  尚琦

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  学好数学需要理解能力、洞察能力、想象能力、逻辑分析能力、类比能力、抽象思考能力、演绎能力、归纳能力、简洁表达能力、甚至还需要感性。 这样一门美丽而伟大的学科，真是爱呀！

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  任志远

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  很不错的一本书 我认为应该放在所有数学书籍阅读前进行阅读 书中讲到的算是一个宏观的概念 即数学究竟对于我们的生活意味着什么 特别是数学思维的形象化 提供了许多多方面角度看问题的方法 最后 把书中的一句话送给大家 用数学的逻辑进行思考并不需要任何天分 而数学本身 其实是一门讲求简单与明了的学问

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  凌柒

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  归根究底，数学是一门培养“透视事物本质”“推敲出眼睛看不见的规则或性质”等精神和逻辑思维的学问。 一般来说，擅长数学的人都具有一种优秀的能力，称作“逻辑性的勇气”。即使站在看不见终点的入口，也有勇气朝着自己认为正确的方向前进。 尝试去抽象化归纳出事物本质，建立自己思考事物的逻辑，活得越来越明白，这就是在运用和培养数学思考力。

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  武媛

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  浅显易懂地讲出数学的本质。打算购买纸质书，以及该作者的其他几本书，放家里给孩子看。

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  PENGUINs.

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  用普世的思维来解释数学思维在日常生活中的提现， 自己已经工作许久了，看完之后对数学又点燃了一丝丝的热爱。 按照我的理解，世界本来就很复杂，任何知识都能单方面的解读一件事情，但是并不妨碍世界的复杂，和创造出解释世界的人的智慧和美。

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  stella

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  喜欢作者这样的数学老师，讲得真好。数学跟音乐有相通的地方，逻辑的美。

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  修小明

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  读一章就点评了五星，因为恰好解答了我目前的一个问题，幼小衔接阶段做完了摩比爱数学，继续学什么，是公文式还是火热的新加坡数学。计算能力，就到孩子去学校里学，用家庭作业练，在家里，我们做学校里不教的数学思维训练，也许短期看不如反复刷题效果显著，但长远来看，这才是真正的数学能力。

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  我是喵啊呜

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  以前文理分科，觉得自己数学不好的人会去读文科，或者反过来说，语文不好的人会去读理科。现如今，“语文学不好，数学也学不好”，“得语文者得天下”的论调则是越来越多了。 究其原因，大概是数学不太是以前的数学，而语文完全不是以前的语文了。现在的语文离抄写背诵越来越远（可能是因为信息时代对人的记忆力要求越来越低了），离逻辑应用越来越近，而逻辑思维又是数学的根本，二者对大脑的考验趋于同一。另一方面，数学题越来越长，越来越像语文的阅读理解题，谁解读文本的能力更强，谁就更容易抓住解题的关键点。 由此看来，语文和数学就像一枚硬币的正反面一样。 所以在《如何唤醒数学脑》的开篇，就是一长段语文阅读理解，演示如何用数学思维解答语文题。五道题我一道也没答对，原本我就觉得自己缺乏数学思维，现在连语言文字的能力也没有把握了。 数学力是什么呢？能够快速且正确计算的能力？能够快速解答应用题的能力？能够快速解答数学谜题的能力？这些都不是。虽然学校里的孩子们正在学习和比拼的就是这些。 在作者看来，计算和解析是计算机最擅长的工作，随着时代的发展，能够计算和解析不会再像以前一样使一个人在工作中得到肯定了。人类独有的能力是对那些尚未建立算法的未知问题提出解答方案，即使无法解答也要找出解答的方向，这才是真正的数学力。所以擅长数学的人都具有一种优秀的能力，称作“逻辑性的勇气”，即使站在看不见终点的入口，也有勇气朝着自己认为正确的方向前进。这么看来，一个人能不能学好数学，跟勇气也有很大的关系。英语和历史则不尽然。 那么要怎样才能学好数学呢？答案是不要死记硬背。学好数学的起点是思考“为什么”。 不管数学学得好不好，每个人都曾经有过“灵光一闪”的时候，这种灵光一闪其实就是理性逻辑思维突然搭对了神经，也就是说，每个人都有学好数学的潜能，接下来就是刻意练习，使灵光一闪成为常态，数学力也就养成了。 数学式思维的七个方面： 1、整理：通过分类推理出隐藏性质。 分类指的是不重复且无遗漏的分类。整理的目的在于获得更多新信息，比如化学元素周期表，先是通过排列元素发现了周期性，继而得出“原子序数就是原子核正电荷数（质子数）”的结论，进而准确预言了尚未被发现的元素，这就是整理发现的新信息。 在数学中，会学到乘法式整理，研究数学的人，会惯性地把和变成积，因为积提供的信息量比和要多得多。加法是相同性质的计算，计算结果也是同一性质，而乘法是不同性质的东西所进行的计算，计算结果是全新性质的东西，比如速度乘以时间，会得到路程。次元增加，世界就会变得更宽广。用乘法式思考将相异的概念凑在一起的“矩阵”，就是一种典型的数学式思考，在非数学领域有着广泛积极的作用。 说白了，数学是一种为人脑搭建次元的工具，那些主张数学只要学会加减乘除就够用的人，长大后会奇怪，为什么别人总能想到自己想不到的点子，大概就是因为别人的大脑里次元更多吧。 2、顺序：选择时由大到小，证明时由小到大。 这里要先解释一下我一直没弄明白的必要条件和充分条件的区别了。假如命题“若p则q”为真命题，则p为充分条件，q为必要条件。还是不明白啊！换个说法，假如命题“我在南京，则我在江苏”为真命题，那么“我在南京”为充分条件，“我在江苏”为必要条件。这么一看就好懂多了，充分条件指的是小范围，必要条件指的是大范围。 再来应用到现实中，什么叫选择时由大到小，比如冬天的早晨要选衣服穿，首先要考虑的是大范围，即先挑出适合冬季的衣服，然后再在其中挑出是棉衣，西装还是运动服，由必要到充分，不断缩小范围，可以减少盲目性，节约时间。 那么什么叫证明时由小到大呢？还是以命题“我在南京，则我在江苏”为例，此命题为真，但反过来就不一定了，我在江苏，但我不一定就是在南京。也就是说，在逻辑当中，小范围到大范围总为真，大范围到小范围总为假。所以想要判断一个逻辑对不对，画个图看看，哪个圈圈在外，哪个圈圈在内就清楚了。比如，只要努力，就能成功，哪个是大圈圈，哪个是小圈圈呢？显然努力为大，成功为小。我突然发现，一用逻辑，很多鸡汤都不香了。 3、转换：“换句话说”和“运用因果关系”。 换句话说，是写文章的人的常用伎俩，怕读者看不懂，多举几个例子来说明。在数学中可理解为等价交换，和上一条不同，这次不仅“若p则q”成立，而且“若q则p”也成立，即p和q互为充要条件。还是不明白啊！那就举例来说吧，有一场专业资格考试，要求三年以上工作经验，笔试正确率达到80%以上，还要通过面试。“通过资格考试”和“同时满足工作经验、笔试、面试三项条件”互为充要条件。再来画圈圈，三个大圈圈交叉的那一小部分既代表通过考试，也代表三个满足条件。 运用到实际生活中，要获得成功，想一想应该在哪些方面发力，是不是就不再迷茫了呢？努力只是若干圈圈中的其中一个，要和其它圈圈交叉，得到中间一个小小的部分，那个才叫成功。这样的鸡汤才是真鸡汤。数学果真是万门科学的基础啊。 运用因果关系，这句话在数学中体现为函数的概念，又是一个让人头大的问题。可以把函数的“函”理解成一个盒子，盒子上写着一个规则，一个数字从盒子这头放进去，按照规则另一个数字从盒子那头出来。放进去的数字可以是任意的，叫做自变量，出来的数字则没有这份自由了，是由放进去的数字和规则决定的，所以叫做因变量。自变量会对应到特定的因变量，所以函数是一种因果关系。 因果关系一般分为四种情况，第一种是每个原因对应特定的结果，且每个结果也都对应特定的原因。显然这是人们最乐意看到的情况，既不用担心也不会迷茫。第二种情况是每个原因对应特定的结果，但每个结果并不一定对应特定的原因。这个稍微差了一点儿，但是至少行动的决心不会受到影响。第三种情况是每个原因不一定对应特定的结果，但每个结果都对应特定的原因。这种情况会令人不安，比如打电话到女朋友家，不知道接电话的会是女朋友本人还是女朋友的爸爸。这么看来，现在人手一支电话是满足了第一种理想情况的幸福啊。第四种情况就不用多说了，原因对不上特定的结果，结果对不上特定的原因，根本就是没有因果关系。 根据以上分类可知，函数属于一个原因对应一个结果。因此，在实际生活中，可以用函数的思维去辨别真正的因果关系，首先，设想的原因是否独立于其他情况之外，其次，原因是否只对应一个结果。换句话说，就是原因是否独立，结果是否唯一。我想了半天，发现简单的因果关系几乎是不存在的。比如孩子考试没考好，妈妈崩溃怒吼。如果把孩子没考好作为独立原因的话，妈妈也有可能不崩溃。那么，就需要再往前推没考好的原因，是因为打游戏，没有好好学？那么形成真正因果关系的就是孩子打游戏和妈妈生气。如果把妈妈崩溃作为唯一结果的话，孩子没考好并不是次次都让妈妈生气，有可能妈妈刚好这一次在单位碰到糟心事，那么形成真正因果关系的其实是工作不顺和妈妈生气。为什么函数很有用，因为它能帮助找出真正的因果关系，解决真正的源头问题。当然现实中的情况会比这个例子复杂很多，但是经过这样的逻辑分析，至少不会被表面现象迷惑，而是推导出最有可能的因果关系，对症下药。 4、抽象化：归纳出共同的性质，模型化。 看到抽象两个字就感觉完蛋了，要听不懂了。其实抽象的概念无处不在，比如“马”这个词，就是高度抽象。如果你指着一匹马告诉小孩子，这叫做马。那么这个小孩子日后见到另外一匹高矮胖瘦颜色都不一样的马时，还是会脱口而出叫它马，因为脑子里已经莫名其妙归纳出了马的共同性质。能够正确完成抽象化的能力，就是一种看穿本质的能力。 那要怎么做，才能提升抽象化的能力呢？说起来也很简单，就是从每天接触的五花八门的事物当中找出共同的性质或要素，比如这三天吃的午餐有什么共同性质。仔细一想，还真没有几个人会刻意做这种练习。既然这些基础的抽象练习都没有做，想要实现“模型化”就更不可想象了。 模型化就是把复杂的现实简化成单纯的模型，然后再用这个模型去解决复杂的问题。打个比方，不会玩魔方的人想要完全靠运气还原魔方几乎是不可能的，就算碰巧还原了，再来一个新的打乱的魔方，又是难于上青天。而知晓还原规律的普通玩家无论打乱成什么样子的魔方都能套用模型来还原，更高级的玩家会推导出更高级的模型，以更少的步骤还原。也就是说，谁更会创造模型，利用模型，谁就更能高效解决问题。这么一看，主张数学只要会加减乘除就够用的人，是不是明白为什么别人做起事来总是比自己又快又好了呢？ 5、具体化：成为说明高手，分别使用“演绎”和“归纳”。 世界上有两种人，一种善于说明，一种不善于说明。不善于说明的人大部分又可被归类为两种类型：只说具体的事物和只说抽象的事物。善于说明的人则能“往返于具体和抽象之间”，即善于“演绎”和“归纳”。演绎是从适用于全体的理论推导出个别的情况。归纳正相反，是从个别的情况推导出适用于全体的理论。演绎的缺点是可能把有限的理论推到无限的事例上。归纳的缺点是无法验证所有事例导致结论未必站得住脚。记住这两个坑，在解决具体问题的过程中，交错使用演绎和归纳，会使思考过程变得清晰明确。就像我写这篇读书笔记，如果不去联系一些亲身例子，我都没办法把自己讲懂。 6、逆向思维：迈向多元视角的第一步。 逆向思维说得多，能做到的人却少。心理学界有个著名的情绪ABC理论，A为事件，B为想法，C为结果。不同的想法会导致不同的结果，比如乐观的人和悲观的人对半杯水的看法。理性的思考方式能得到健康的否定情绪，非理性的思考方式容易得到不健康的否定情绪。非理性的思考方式简单来说就是“一定要……才行”。要求自己“我一定要……才行”，要求别人“你一定要……才行”，要求这个世界“一定要……才行”，可以想见，这种凡事绝对的想法迟早会让人崩溃。 而克服非理性思考方式的办法，就是对“一定要……才行”进行反驳。一定要这样才行吗？不这样一定不行吗？还是以半杯水来说，悲观主义者内心其实暗含一个绝对的想法，一定要满杯水才行，现在只有半杯水，所以不行。而乐观主义者则认为，不一定要满杯水才行，这样心理可接受范围就更大。 还记得乘法式整理吗？一定要这样，是在一条直线上考虑问题。不一定要这样，则是在一个矩阵中考虑问题，次元增加，世界就会变得更宽广。 逆向思维，换位思考，多元视角，发散思维，不同的说法其实都是指在宽广的世界自由变换位置所看到的不同结果。 7、对数学的美感：讲求合理性，利用对称性，追求一致性。 人们常常把科学和艺术对立起来看，认为科学是严谨枯燥的，艺术是自由奔放的。然而在作者看来并非如此，作者自己既是一个数学老师，也是一个指挥家，这两件事都令他陶醉。大科学家往往在艺术领域有着相当的造诣，大艺术家也往往具备精密的科学思维。这是因为科学和艺术对美的感受其实是一样的。不管是音乐，文学，还是电影，绘画，甚至是搞笑艺人的舞台表演，都是建立在逻辑的基础上，音乐的和弦，文学的构思，电影的节奏，绘画的布局……合理即美。可以这么说，好的科学家内心一定是个艺术家，他在看数学式的时候，就像音乐家看乐谱，画家看画作一样，因为看见合理，对称，一致的逻辑之美而心生愉悦。 因此，想要知道有没有唤醒数学脑，就看你学习数学时，高兴吗？

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  小手牵大手2021

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  充分必要条件、演绎法、归纳法、反证法、对称性、一致性、数学美感

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  罗火火

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  语言质朴无华，本书从七个点讲述数学中的逻辑思维与生活的关系，既然是一本入门书，书中却含有不少的数字运算，如果能将这些数学符号变成语言，应该能更方便读者吧

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  淘宝

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  刚好在给一个学生辅导初二数学，发现数学思维真的很重要，这本书让我更加确信。辅导过程比较注重的是:①每个知识要点的充分理解运用，会做笔记;②回顾、反思、总结;③联系知识点，根据题目相应意思，整理出解题思路;④数学思想方法:如分类讨论、数形结合、方程的思想等。我个人是比较喜欢数学的，看了这本书后觉得每个人都可以尝试培养数学思维，将其合理应用于学习和生活。

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  ShaoEn

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  我一直認為是否熱愛某樣東西，就聽他怎麼形容，如果可以講到連行外的都覺得熱血沸騰，就真的可以看出他已經把它內化成自己的一部分，永野裕之把數學講得好有趣，回答了學生時代「為什麼要學數學」的遍地哀嚎，讓痛苦無奈解題的學生豁然開朗，不再抱怨「學數學能幹嘛？！」，學科不是讓你一定要解出雞兔同籠到底有沒有殘缺的雞，畢竟我們永遠不需要知道，學科是幫助你大步走向未知而心無畏懼。