简介

精彩点评

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  明亲

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  数学世界还是蛮有意思，本书刻画讲了很多。 我最感兴趣的是，四维的世界。三维世界、空间等你等等，我们非常熟悉，但是对于这四维世界，也许是第一次听说。专家认为这四维世界的第四个维度是时间。想到之前看到的斯嘉丽电影《超体》，当我们可以随意“操控”时间，我们眼里的一切会发生些什么神奇的事情?感兴趣的可以看看这部电影，蛮震撼的。 又想到毕设的3D打印，2D打印就是平常打印店的纸张打印，3D打印就是可以打印出三维空间的物品，当然4D打印更神奇，就是打印出来的东西可以自由变形！想想不知不觉中，我们依然进入这个高速发展的时代，而这些技术慢慢给我们带来改变的同时，与我们的生活越来越密不可分。之前，网上的关机手机关机一天挑战，想想倒真的难度越来越大了！

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  丁一

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  1621年，费马在巴黎买了一本丢番图的著作《算术》的新法语译本，书中就讨论了毕达哥拉斯三角形。他阅读时在旁边做了一处简短的笔记，其大意是，虽然等式x^2+y^2=z^2有无数个整数解，但与其形似的等式x^n+y^n=z^n，当n大于2时，则是永远无解的。 “我已经找到了一个绝妙的证明方法，”费马写道，“但是这里太窄了，写不下。” ——乔治·伽莫夫《从一到无穷大》 1、“可以比较两个无穷数哪一个更大吗？” 有一些数字是无穷大的，比无论我们花费多长时间所写下来的数字都大。“所有数字的数量”显然是无穷的，“一条线上几何点的数量”也是无穷的，除了它们都是无穷的，还有别的方法可以描述这些数字吗？例如，可以比较两个无穷数哪一个更大吗？ “所有数字的数量更大还是一条线上点的数量更大？”这样的问话有意义吗？这些乍一看很有趣的问题是由著名数学家格奥尔格·康托尔首次提出来的，他也是名副其实的“无穷数算术”之父。 2、“无穷数的大小” 要讨论无穷数的大小，我们首先要面临一个问题，即对我们所说出的或写下的两个数进行比较，某种程度上类似于霍屯督人查看宝箱，想要知道自己拥有多少玻璃珠或铜币。但是，你应该还记得，霍屯督人最多只能数到3。那么既然他不会数到更多，他应该放弃比较玻璃珠的数量和铜币数量吗？当然不是，如果他足够机智，他完全可以将珠子与铜币一个一个地比较后得出答案。他将一个珠子与一枚硬币放在一起，第二个珠子与第二枚硬币放在一起，以此类推，如果最后珠子用完了而硬币还有剩余，那么他就可知自己拥有的铜币的数量多于玻璃珠；反之，则他拥有的玻璃珠数量更多；如果两者同时用完，那么他所拥有的两种东西数量就一样多。 康托尔提出来的比较两个无穷数的大小的方法与此一模一样：如果我们将两个无穷数所代表的对象集合进行配对，这样一个无限集合中的每一个对象都与另一个无限集合中的一个对象配成一对，到最后两个集合中都没有多余的对象，那么代表这两个集合的无穷数就是相等的。但是，如果其中一个集合有剩余，那么我们就可以说代表这个集合的无穷数比代表另一个集合的无穷数更大，或者说更强。 3、“在无穷数的世界里，部分可能等于整体” 根据我们的无穷数比较法则，我们必须承认所有偶数的数量与所有数字的数量是相等的。当然，这听起来有些荒谬，因为偶数只是所有数字的一部分，但是，别忘了我们这里所处理的是无穷数，所以必须对遇到的不同的特性有所准备。 实际上，在无穷数的世界里，“部分可能等于整体”！关于著名的德国数学家大卫·希尔伯特的一个故事可以很好地阐释这一点。据说他曾在关于无穷数的讲座中用下面的话来说明无穷数自相矛盾的特性： “让我们想象有一家旅舍，里面房间数是有限的，并假设所有房间都已客满。这时来了一个新客人想要订一间房，‘很抱歉，’老板会说，‘但是已经客满了。’现在让我们想象一个有无数房间的旅舍，并且所有的房间也已客满，而这时也来了一个新客人想要订一间房。 “‘当然可以！’老板喊道，然后他将占据了1号房间的人移到2号房间，将2号房间的人移到3号房间，将3号房间的人移到4号房间，以此类推。然后，经过这一番转移，1号房间空了出来，新房客就住到了里面。 “让我们想象一个有无数房间的旅舍，所有房间已客满。这时来了无限数目的新客人想订房。 “‘好的，先生们，’老板说，‘少安毋躁。’ “他将1号房间的客人移到2号房间，将2号房间的客人移到4号房间，将3号房间的客人移到6号房间，如此等等。 “现在所有编号为奇数的房间都空了出来，可以轻松地将无限多的新客人安置其中。” 因为当时正处于战争时期，即使在华盛顿，希尔伯特所描述的状况也很难被人理解，但是这个例子生动形象地描述出无穷数的特性与我们平时算术中所遇到的状况截然不同。 4、“希尔伯特：纯数学和应用数学之间没有任何共同点，根本没有可比性” 数学通常被人们，尤其是数学家们，看作是科学中的女王，而作为女王，她自然要尽量避免屈就于其他学科。举例来说，希尔伯特在参加一次“纯数学与应用数学联合大会”时，受邀发表一次公开演讲，以打破这两派数学家之间的敌对状态，他是这样说的： “经常有人说纯数学和应用数学是彼此相对的。这句话不对，纯数学和应用数学并不是互相对立的，这两者之前没有互相对立过，以后也不会互相对立，这是因为纯数学和应用数学之间没有任何共同点，根本没有可比性。” 5、“数论中的大部分定理都是人们在处理不同的数字问题时构思出来的，正如物理学中的定律是人们处理与实物相关的问题得到的成果” 虽然数学家们希望保持数学的纯粹性，对其他学科敬谢不敏，但是其他学科，尤其是物理学却颇为青睐数学，竭力与其建立“友好关系”。事实上，现在纯数学的每一个分支几乎都被用来解释物理宇宙中的这个或那个特性。其中包括抽象群理论、非交换代数、非欧几何这种一直被认为是绝对纯粹，不会有任何实用性的科目。 然而，迄今为止，数学中还有一大体系除了可以训练思维外没有任何实际应用，简直可以被光荣地授予“纯粹皇冠”了。这就是所谓的“数论”（这里指整数），数学中最古老的分支之一，也是纯数学思维最错综复杂的产物之一。 不可思议的是，作为数学中最纯粹的一部分，数论从某个方面来说却可以被称为一门经验科学甚至是一门实验科学。事实上，数论中的大部分定理都是人们在处理不同的数字问题时构思出来的，正如物理学中的定律是人们处理与实物相关的问题得到的成果。而且也像物理学一样，数论中的一些定理已经“从数学的角度”得到了证实，还有一些却仍停留在纯经验阶段，挑战着最优秀的数学家的大脑。 6、质数的数量是无限的，还是存在一个最大质数?” 以质数问题为例，所谓质数，就是不能用两个或两个以上比其更小的数字的乘积来表达的数字。像1,2,3,5,7等这样的数就是质数，而12就不是质数，因为12可以被写成2×2×3。 质数的数量是无限的，还是存在一个最大质数，所有比之大的数都可以用我们已知的几个质数的乘积来表示？这个问题是欧几里得最早提出并研究的，他给出了一个简洁明了的论证方法，证明了质数的数量是无穷的，因此并不存在所谓的“最大质数”。 为了验证这个问题，我们假设所有已知质数的数量是有限的，并用字母N来表示已知的最大质数，现在让我们计算所有已知质数的乘积并加1，用以下算式表示： （1×2×3×5×7×11×13×…×N）+1 这个数当然比我们所提出的最大质数N要大得多，但是，这个数显然不可能被我们已知的任何质数（最大到N，也包括N）整除，因为从它的结构来看，用其他任何质数来除这个数都会留下余数1。 因此，这个数字要么本身就是个质数，要么就必须能被比N还大的质数整除，但这两种情况都与我们最开始的假设“N为已知的最大质数”相矛盾。 这种检验方法叫作归谬法，也叫反证法，是数学家们最喜欢用的方法之一。 7、“是否有什么简便方法能把所有的质数一个不落地挨个写下来呢？” 既然我们已经知道质数的数目是无穷的，我们就要自问，是否有什么简便方法能把所有的质数一个不落地挨个写下来呢？古希腊哲学家兼数学家埃拉托斯特尼最早提出了能做到这一点的方法，被称为“埃拉托斯特尼筛法”。你需要做的就是写下完整的整数序列，1,2,3,4等，然后删掉其中所有的2的倍数，再删掉所有3的倍数、5的倍数，等等。通过埃拉托斯特尼筛法筛选前100个整数，其中有26个质数。通过用这种简单的筛选法，我们已经得到了10亿以内的所有质数。 但是，如果能提炼出一个只能演算出质数的公式，并且能快速且自动地演算出所有的质数，那就更加简便了。然而经过了多少世纪的努力，人们还是没有得到一个这样的公式。1640年，著名的法国数学家费马曾以为他推导出了只能算出质数的公式。 8、“哥德巴赫猜想：任何一个偶数都可以表示成两个质数之和” 数论中还有一个有趣的理论至今既没有被证实也没有被推翻，这就是哥德巴赫1742年提出的“哥德巴赫猜想”（Goldbach conjecture），其声称：“任何一个偶数都可以表示成两个质数之和。”以一些简单的数字为例，你不难发现这句话是对的，如12=7+5,24=17+7,32=29+3。虽然数学家们在这个问题上做了大量工作，但还是没能给出一个决定性的证据证明这一陈述是绝对无误的，也没能找出一个反例证明其是错的。就在1931年，苏联数学家施尼勒尔曼朝着决定性证据迈出了关键性的一步。他成功地证明了“任何一个偶数都可以表示成不超过300000个质数之和”。再往后，“300000个质数之和”与“两个质数之和”之间的差距被另一个人维诺格拉托夫（Vinogradoff）大大地缩小了，他将前者减少到了“4个质数之和”。然而从维诺格拉托夫的4个到哥德巴赫的两个质数之间的最后两步看来是最为艰难的，谁也不能肯定还要多少年或者几个世纪才能证实或推翻这一难解的命题。 9、“从1到任何大于1的数字n之间质数所占的比例约等于n的自然对数” 好吧，看来想要导出一个能自动计算出所有的以及任意大的质数的公式，我们还任重而道远，更何况我们还不能保证这样的公式一定存在呢。 我们可以问一个稍微简单点的问题——关于在给定的数值区间内质数所占的比例的问题。随着数字变大，这个比例是否会一直保持不变呢？如果变的话，是会增大还是减小呢？ 数学上有没有一种简单的方法来描述这一随着数值增大而减小的比例呢？不仅有，而且质数平均分布的规律是整个数学领域最了不起的发现之一。简单来说，就是“从1到任何大于1的数字n之间质数所占的比例约等于n的自然对数”，并且n越大，这两个值越接近。 正如数论中的很多其他理论一样，上述质数理论最开始是从经验主义的角度提出的，在其后很长一段时间里都无法用严格的数学方法加以证实。直到19世纪末，法国数学家阿达马和比利时数学家德拉瓦莱普森才终于用一种极其复杂的方法将其证实，三言两语难以说清，此处不赘述。 10、“费马大定理” 既然讨论到整数，就不得不提一提著名的“费马大定理”（Great Theorem of Fermat），这可以作为讨论与质数特性无关的问题的一个例子。这个问题的根源要追溯到古埃及，当时所有优秀的木匠都知道，一个边长之比为3∶4∶5的三角形一定有一个直角。他们就用这样的三角形，现在被称为埃及三角形，作为自己的角尺（在小学的几何学课程上，毕达哥拉斯定理是这样呈现的：3^2+4^2=5^2）。 3世纪时，丢番图开始琢磨，除了3和4以外，是否还有其他两个整数的平方和等于第三个数的平方。他也确实发现了一些（实际上有无数个）具有这种性质的数字三元组，并且给出了找出这些数的基本规则。这种三条边长均为整数的直角三角形现在被称作“毕达哥拉斯三角形”（Pythagorean triangles），埃及三角形就是其中的一个典型。毕达哥拉斯三角形的构建问题可以被简单地视为一个方程等式，其中x、y、z都必须是整数：x^2+y^2=z^2。 11、“我已经找到了一个绝妙的证明方法，但是这里太窄了，写不下” 1621年，费马在巴黎买了一本丢番图的著作《算术》的新法语译本，书中就讨论了毕达哥拉斯三角形。他阅读时在旁边做了一处简短的笔记，其大意是，虽然等式x^2+y^2=z^2有无数个整数解，但与其形似的等式x^n+y^n=z^n，当n大于2时，则是永远无解的。 “我已经找到了一个绝妙的证明方法，”费马写道，“但是这里太窄了，写不下。” 12、“全世界最卓越的数学家们都曾试着重现费马在笔记中提到的他所想到的证明方法” 费马逝世后，人们在他的资料室里发现了这本丢番图的著作，留白处的笔记内容才得以问世。那是三个世纪以前的事了，自那时开始，全世界最卓越的数学家们都曾试着重现费马在笔记中提到的他所想到的证明方法，但至今仍没有定论。但毋庸置疑，朝着这个最终目标，人们已经取得了巨大的进步，同时，在试图证明费马理论的过程中，还诞生了一门被称为“理想数理论”的全新数学分支。欧拉证明了方程x^3+y^3=z^3和x^4+y^4=z^4不可能有整数解，狄利克雷证明了方程x^5+y^5=z^5也无整数解，其后，经过几位数学家的共同努力，我们已经可以证明，当n小于269时，费马方程都是无解的。但是至今仍然没有找到能证明指数n取任何值时该结论都成立的总结性论证方法，越来越多的人怀疑，要么费马自己也没有证明方法，要么就是他哪里弄错了。后来有人悬赏10万马克寻找答案，这个问题更是成了热门话题，当然那些只为求财的业余人士并没有取得任何进展。 注： 费马大定理最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明，这是一个非常精彩的故事，详见西蒙·辛格《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》。

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  ゝ

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  这是科学写作史上的一部奇书，把新颖深刻的科学思想与善打比喻讲故事的生花妙笔完美地结合在一起。其雅俗共赏的特征，或许可以与金庸武侠小说相比。 伽莫夫这位博学的俄国科学家解释了α衰变，研究过恒星的形成，以及恒星内部核素的合成等。他的科普作品，比如The birth and death of the Sun，以物理世界奇遇记系列，给无数非科学家普及了深刻的知识，也给了很多职业科学家以灵感。

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  静水晓风

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  咬牙切齿才把这本60年前的科普书给读完！ 为什么要读完，因为值得！对我而言是绝对值得！ 也许每个人因为经历不同，看书的点不同，因此得到的收获是不一样的。 这本书对我而言，不是什么宏观微观，什么数学物理化学和生物，而是如何考虑问题，以及建立在如何思考考之上的一些基础。 比方其中有几个有趣的例子非常特别: 第一，利用虚数寻找宝藏。（虚的居然能够得到真实的答案？被惊讶到了） 第二，醉鬼行走的路径。（原来世界的规则都是建立在一个大致有效的范围内并大致符合统计学的概率事件） 第三，太阳光子从太阳的中心到表面需要多少年？（因为彼此碰撞拥挤，居然需要5000年，这也解释了，在拥挤的人群中，你要脱颖而出，需要多少努力才有可能）。 类似的值得思考或者引用到自己工作生活中的东西还有很多，那就需要读者我们自己去挖掘了。

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  雷公电婆

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  看懂三分之一，看不懂三分之二。看懂的是小学水平的，看不懂的，是因为那些数学描述。 我们了解一些最小的质子（本书那时候还没有确定夸克存在）电子之类，了解这些基础材料拼出生命；我们也了解一些星系，无法想象的巨大宇宙。可是，我们不了解为什么会有自我意识？一声叹息[呲牙]

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  王宗英

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  读的是暴永宁的译本，纸书，2011年版，2016年第33次印刷，而原书写于1946年。一本74岁高龄的老科普书，还能5年印33次，真是老当益壮，经典无疑。 书写得深入浅出、通俗易懂。也可能是因为有70多年的科学进步垫脚，读者站得比那时高了不少，让一些当年烧脑的内容，如今不再那么难懂，所以才有这种印象。但也不全是，毕竟同样经典的《自私的基因》，当年读着要命，今天要命依然。倒不是说后者不好，两本书定位不同，是造成难度差异的主要原因，不是作者的水平问题。 不过本书水平高也是事实。刚刚读完神永正博的《数学思考法》，是本新书，里面也讲了“生日悖论”问题，但用的篇幅更大，说得却没有更明白，考虑到二者之间巨大的时空差，水平问题就更显而易见了。 本书以数学、物理为主，兼顾了化学、天文学和生物学以及一点点地质学，内容非常丰富。数学是自然科学的皇后，而物理是自然科学的国王，所谓号令天下莫敢不从者，自然该上宾就座。作者犹如超级桥工，巧妙地在天文数字与天文尺度、人工数字与物理“发明”（比如虚数与四维时空）、拓扑几何与时空弯曲、统计概率与热力学熵之间架起了一座座直通大桥，让它们轻松合体，自然而然给了读者一种“羿昔落九乌，天人清且安”的轻松感。书中对化学和生物学着墨不多，内容也相当基础，与物理和数学的融合才是其精华所在。故此，即便大部分内容你已有所涉猎，也还是该来体会一下大师举重若轻、融水于乳的超能力。 例子我就不举了，好好一锅汤，我不想做老鼠屎。 由于历史原因，书中个别当时的“知识”已被推翻或重写，比如宇宙的年龄、宇宙中的粒子总数、核子能否再分等等，书中注释并不全面，还要自己留神才好。

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  Jacob🌍

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  历史、政治、哲学、数学、逻辑学、物理、艺术 这几门学科是通才教育的根基，更是成为一名优秀管理者的必备内功，如果这几门学科掌握得好，你会发现自己会突然变成了一个知识吸收机，以后的学习、生活、工作当中遇到的一切问题都能一学就会且能主动思考，并像海绵一样快速吸收，不断遇到问题，不断解决问题，同时使自己变得越来越强

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  无眠的夜

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  哦耶，终于上架了，等了好久，看看小时候没读懂的现在能不能看明白😊

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  ꧁༺Cathy࿈Qin༻꧂

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  大数字/自然数/人工数…时间/空间/四纬世界…微观世界/宏观世界…无序定律/生命之谜…基础数学/拓宽视野…1-∞…拿走不谢…

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  丫丫

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  某次在飞机上无意的看到过有关George Gamow的一点介绍，当时只是感觉他在天体物理学上的研究还挺牛的，但这些对于自己来说，真的很晦涩难懂，也实在没有多大兴趣，直到前几天看到一篇书评又提到了他的这本书，才决定翻一下。 从数到爱因斯坦的相对论和四维空间结构，从微观世界到宏观世界，感觉作者在尽可能用很通俗的语言做科普，但有些内容对我来说仍然有点难。但这些都不妨碍作者所传递的，如何用科学的角度来看待世界，以及科学发展的脉络和构建。 从微观到宏观，从一到无穷大，所有事物背后的那些规律，是那么奇妙而深邃。我们只是在不断发现它，而非发明。而这个发现的过程却是那么的艰难，漫长而有趣。

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  阿~忠

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  很多科学家都写科普著作，其中的优秀者，比如卡尔·萨根、费理曼、伽莫夫，除了科普著作多之外，所写之书大多成为畅销书，不因科学受众的狭窄而束之高阁。原因在于，一是通俗易懂，二是文法好、有故事。 这两条理由，看起来很简单，做起来却难。科普著作的读者，不是科学家，而是不懂科学的人，如何把一个自然道理、一条复杂的定理、一个与现实生活不着边的科学猜想说清楚，是一件颇费周折的事情。霍金的图书编辑告诉他，书中每多一个公式，书的销量将减少一半。如何避免公式成了科普作家的“行规”（霍金的《时间简史》尽管做到了全书只有一个公式，依旧被读者目为天书，虽然行销全世界，却没有多少人读懂或是读完，除了说明这本书的营销的成功之外，还说明了科普著作普及的不易）。从这一点来说，美国科学家伽莫夫所写的《从一到无穷大》是一本严重违反科普“行规”的书，全书以数学的发展和公式的演进为线索，从数学的诞生写到生命的诞生与宇宙的诞生（伽莫夫本人在大爆炸理论和生物遗传密码等诸多领域都是先行者），将数学、物理学、生物学甚至哲学融会贯通，涵盖了科学发展的诸多领域。 国外曾经搞过一个科普著作的排名，参与者是科学家和普通读者，《从一到无穷大》高居榜首，被誉为“20世纪最经典的科普著作”，不仅读者多，而且受到读者的追捧。许多人对科学的认识，就是从这本书开始。我手头的中文版有两本，一是1978年出的，另一则是2002年出的，后者现在还能买到。 既然被公认为科普的经典，除了科普著作的基本要求（通俗易懂，有故事，幽默等等之外），这本书还有着它独特的、卓越的一面：向读者传递科学的思维方法、基于科学的对世界的认识角度、基于科学的人文世界观。作者并非说教，而是通过对科学发展的描述，通过对科学的思辨，通过该书深刻而易读的文字、图表和趣味盎然的故事，使其融入到读者的阅读中。 虽然涵盖了科学的各个领域，但这本书并不是一本按部就班地解答各种科学问题的书，用作者的话说：“书中有些章节简单的连小孩也能读懂，而另一些章节却要多费点劲。” 该书原本打算写给作者12岁的儿子看的，可是部分章节，却连冯·诺依曼的女儿玛丽娜都无法理解。冯·诺依曼是20世纪伟大的数学家之一，发明了计算机和博弈论，参与制造了原子弹。据玛丽娜说，她在所有领域都超出了冯·诺依曼，唯独数学二人打个平手。因而，“多费了点劲”的读者面对着那些数学公式不必灰心，冯·诺依曼的女儿读不懂也意味着冯·诺依曼读不懂——20世纪比冯·诺依曼再厉害一个等级的科学家就只剩爱因斯坦了，可是爱因斯坦在数学上不擅长，估计也读不懂。 虽然伽莫夫说这本书对于十多岁的孩子有点难，但我依旧向12岁以上的读者推荐这本书，因为书里的一部分内容，他们现在可以读懂，另一部分内容，经过思考可以读懂，还有一部分内容，以后可以读懂——最主要的是，这本书可以吸引一个人从童年到成人一直读下去，它所提供的是引导我们如何用科学看世界。

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  于波

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  相见恨晚，和本书的相遇实在是晚了十多年，应该在少年时代就读这本书的，也许会因此走向追寻科学的光明大道上。本书深入浅出的探讨了数学、物理学，化学、生物学和天文学的起源、体系和目标，不仅可激发我们的科学兴趣，还是一本浓缩的科学史，作者的知识，传道的精神让人敬佩。

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  杨军

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  这篇译著篇幅不算长，但包含的知识面很广，有数学中的数论和极限，有物理学中的引力、原子物理和相对论，有化学中的原子结构、元素演变和热核反应，有生物学中的生命起源、细胞分裂和遗传变异，还有天文学中的宇宙形成和大爆炸理论。从尺度而言论及了小到纳米级以下的病毒，大至万亿光年以上的河外星系和星云……知识的确够丰富，令人叹为观止。从一个理工男的角度看，我认为可以作为科普材料推荐给相关专业的大学低年级学生，但不建议给文科生或年龄更小的人读！我不能评价本书不行或一般，仅此作为我推荐本书的理由和适应范围。

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  多次拒绝王冰冰

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  实习工作之余读完的一本书，一本能启发人去想象的书，去关注更浩瀚的世界的书。

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  俊杰

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  有趣。有趣的世界。世界有趣。 好玩，这个世界很好玩。玩世界，很好。 无知到天才，空间与时间，中间只隔了一个哲学，一个哲学的方法。 正如作者论证的: 从一到无穷大，类似的问题，我们无法从纯科学的角度进行解答，因为宇宙所具有的最大限度压力，会将所有物质压缩成均匀的核流体，并完全抹去早期压缩阶段的所有记忆。 我能评论的是，你存在，或者不存在，只在乎你大脑的暂停与思考。