简介

精彩点评

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  小菜一大碟

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  一直看到莫斯科大学入学考试题，都没太大问题，然而再往后就蒙圈啦。体会到了学习、研究数学过程中的诸多爱（师生、同事、热爱），但并没明白爱与数学这对儿主题。 因为看不太懂，所以无法评论。 阅读建议∶75%

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  Summer

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  不懂点数学也能读懂您说的美？看来是骗人的，哈。自传的美，以数学的方式和睿智。

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  任志远

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  一本书就像一部电影，有时候，一部电影，你没看懂但不代表它不优秀，你看懂了，也未必能说它就是一部好电影。 书，更是如此。 作为数学老师，很惭愧这本书中很多数学理论和知识我依然看不懂，拓扑学、自守函数、辫群、黎曼曲面，这些知识都已经很模糊了。 但依然不妨碍我认为这是一本非常棒的书，作者弗伦克尔本是犹太人，被莫斯科大学数学系拒绝后，对于数学，对于真理的追求的本身就是一个勇敢而又充满力量的过程。 而在这过程中，给他勇气的，除了一个个老师和伙伴，在我看来，最重要的就是数学一次次给他的惊喜和研究的成就。 数学，就是爱德华的信仰。 最近看了很多有关数学的书籍，我好像感觉自己慢慢开始好像触摸到了什么，一层层迷雾之后的美丽的数学世界。 希望在今后的教学过程中，我能把这样的感受带给我的学生，让他们也感受到数学之美。

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  十分之一的失

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  被这本书的书名《爱与数学》吸引来读，有点好奇爱与数学能产生什么交集，读完以后得到一个结论：爱无法跟数学相提并论。（单纯皮一下，不用过分解读。原文是这么说的：我们无法通过公式来描述或解释爱。我讨论爱与数学的联系，并不表示爱可以与数学相提并论，而是要告诉大家数学的内涵远比我们想象的要丰富。） 当然这本书主要内容是讲数学，对于我这个非数学专业的人来说看的是云里雾里，堪比天书。可以这么说，里面讲的数学，我都看不懂，大多都是以前闻所未闻的。不过这本书也到不是全都讲数学，里面还讲了作者在追求数学的道路上发生的一系列故事，启蒙老师让我对数学产生了兴趣，求学路上的困境，数学研究，导师的帮助，项目研究，哈弗之行，爱的公式……嗯，其实也可以当成名人传记来读，哈哈。 虽然看不懂数学，但是可以了解一下数学家的故事，跟同作者一同经历数学研究的历程，感作者之所感，思作者之所思。

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  华野502

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  自然科学的纯粹典雅之处在于它们不会人云亦云和蕴藏其中的“自由度”。念书的时候为了做题而做题，很多东西由于不能理解其本质而纠缠于低维度的束缚，限制了对认识世界和探索自然界的极限。长大其实是一件挺美好的事情。对事物的触及不再是单一的即时感知，能运用世界传递给我们的信息和赋予我们的工具“映射”想象的极限。这是成长的拐点、爱的起点。

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  橙子

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  从中学以来，不折不扣是名数学学渣。不过对于数学这门所有科学基础的学科，却一直抱有特殊的感情(难道是被虐出感情了……)。感谢弗伦克尔教授，在著作中带领我走过了一段思念的数学之旅，虽然很多公式看不懂，但能体会到背后的美。

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  葛巾漉酒

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  书不是不好，着实是因为自己的那点数学积累只能把它当故事读。从故事性来说，它比《费马大定理》要少点吸引力，但在数学上的阐述更多。 里面高深的数学原理抓不住几分，只能在几个概念上，如模函数、对称、表示、群（还有什么，记不得[大哭]）混个眼熟，以后应该还会有更多的接触。

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  桃之夭夭

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  曲高和寡之《爱与数学》……仅仅书名就让人感到是在夏日晴朗的夜晚站在山顶仰望苍穹。 作为一名刚刚接触到‘’微积分初步‘’就方寸大乱的数学渣子，我惊叹自己读完了这本书，并数度哽咽。从来都不知道数学这么美，它存在于我们平凡的生活之中。朗兰兹纲领，黎曼曲线，费马大定理，谷山—志村—韦伊猜想，群，层，李代数，……甜甜圈，罗宋汤，医学，绘画，音乐，诗歌……它们之间有着千丝万缕的联系。所以数学，是直接接触事物的本质，跨越文化、地域、历史将人们联系在一起。 作者爱德华弗伦克尔，是犹太裔俄罗斯人，21岁本科毕业就被聘为哈佛客座教授的数学家，其后仅用一年时间就拿下了哈佛数学博士学位。爱德华研究朗兰兹纲领，发现了数学与量子物理之间的神秘联系。这个禀赋滔天的大男孩！彼时不过二十出头。 数学是精英们的玩具，而爱德华要把他钟情的玩具推介给大众，便与人合作撰写了《爱与数学之祭》并拍成了一部电影。中心思想是：男主回馈女友情诗的是一则数学公式：爱的公式。而真理子将这一繁长的公式做了纹身！这大约就是先触及肉体，然后，数学触及灵魂。😍😍😍

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  you

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  虽然是个数学学渣，曾经反感数学，但不妨碍我重新审视数学，了解理解数学之美

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  北来

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  爱因斯坦说：“每一个认真探索科学知识的人都相信，宇宙的法则中明显包含着某种精神力量，这种精神力量远胜于我们人类拥有的精神力量，在它面前，我们的能力显得十分有限。”牛顿说：“我觉得自己就像一个在海滩上玩耍的孩子，偶尔捡到一块光滑的鹅卵石或一枚美丽的贝壳就乐不可支，但我却没有发现我面前的真理海洋，它正等待着人们去探索与发现。”

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  ZYN

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  四年前一刷这本书，当时或许只感觉对我产生了微小的影响，但如今二刷发现我对数学的很多直觉最初都来自于这里。在我看来Frenkel是花了大功夫在做科普的，我不知道还有什么更好的写法，说他根本没想让人搞懂朗兰兹纲领的人也没错，毕竟Langlands program这些东西在熟知代数几何表示论代数拓扑代数数论前提下去读二三百页的专著都很难看懂。然后感慨一下，Frenkel当年在哈佛同届的好友Reshetikhin，Serganova和Tsygan现在分别在Berkeley和Northwestern任教，虽说不是做他们领域的，却也都见了一面，世界可真小。

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  明月天山

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  不错啊！ 一直翻社科人文类的东西，而现实生活也是鸡毛蒜皮，有必要接触一些这世界中不为我所知的东西。新知，可以防偏执，也可以防衰老吧！ 作者在文中也提到物理世界、精神世界与柏拉图数学世界并列而三。 然后，产生了一对矛盾: 一是建模与探索中，不断地幻想理想值或近似值，来开展研究，也许暗示着与此世界，人类终究是只能无限接近，却终于无法抵达。 于是，世事与规律只在近似中，在变化中(是谓人生当求取变化中的平衡)，否则终会顾此失彼，只因总有所不知。 二是比如超弦论也罢，统一场论也罢，人类总认为有个终极的真理，规律实在。 自然，书中绝大多数的数学理论是看不懂的，大概“模”以上，一概不懂。 但却又想起，是否去翻翻丘成桐的《我的人生几何》了。

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  kimbal

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  对称性和对偶性在数学中很重要，因为对称性的破缺往往意味着新理论的出现。 爱德华是一位为朗兰兹纲领工作的数学家，在苏联长大，最终在美国定居与研究工作。 认为在精神世界，物质世界之外还有柏拉图式的数学世界，它与我们人类的活动无关，却等待着人类去发现，它是永恒的真理，对任何人来说都是一样的，这就是数学世界的普遍性--我们不想讨论形而上学，我们只想讨论命题对错。 大科学家往往都对宇宙的这种奇妙又精确的数学特质感到敬畏，我们不禁想到，仅凭数学家们的逻辑推理，就能构筑出一个并不存在的数学世界，这个数学世界比任何人类活动都要长久，都要牢固，都要普遍，唯有爱能与之比肩。 心存这种敬畏之心的人很难不被它吸引。伽罗瓦发现了群论，这是现代数学的基础之一，朗兰兹纲领想要发现数学的大一统，于是借助现有数学分支的高度抽象概念，比如层与函数，流形与维。 不过，看完了这本书依旧不能改变我的咸鱼属性[呲牙]

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  YiyaChen卫

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  作者是俄国犹太人数学家。他这本书像是一本个人自传，同时介绍他自己在当时俄国反犹太人的生长环境下如何成为数学家的心路历程。他后来本科毕业就在哈费被聘为教授，后移居美国。就像学习数学分析的人曾经都受益于吉米多维奇的数学分析习题集，今天世界各国对于俄国数学家的杰出贡献都不敢轻视。他是当今是数学/量子物理学领域一位非常了不起人物。他在哈佛大学用一年时间获得数学博士学位。作者发现了一个惊天秘密：“朗兰兹纲领竟然与量子物理学之间存在难以分割的联系，而且，连接它们的纽带是对偶性，这是物理学与数学中都存在的一个属性”。 看本书作者介绍他们高中时代数学补习或者学习考虑的数学问题，就会发现与中国与俄国在数学教学之间的极大距离。豪不奇怪，他们在高中就有群理论及现代几何学方面的投入，就不能不感叹。所以，俄国如果将来在量子物理基础研究可能会有什么最大突破，也不应该会有什么稀奇。特别世界各国，今天在数学基础理论上的投入比例，必然将来成为在AI与量子力学等科学领域创造力上的本钱。 读本书目录部分就可以得一个大画面。本书也再次提到人生中导师的重要性，有名人指路，一生受益。他分享了何为数学家的特殊灵感及俄国数学大师们在莫斯科大学数学学术讨论会的语境，及他个人数学研究课题经历与故事等令人耳目一新内容。他通过讲故事同时也介绍数学相关领域的发展。本书也再次证实一个说法，第一流导师指方向，第二流，指……。读本书作者的故事经历，任何人都可以品出，数学在日常生活中的重大意义。 一般来说，数学家与哲学家写作重要区别在于，前者逻辑思维条理清晰，后者有些除了自己像疯一样，读其书者不小心也有可能会疯。尽管本书中及其它一些数学普及书内容中，都有可能会有一些数学细节，普通读者可以跳过，但是都可以不影响识大局。这就是读数学作者书的好处，本书也没有另外。

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  郑同学

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  这本书颠覆了我对数学家的印象，大部分内容看不太懂。 数学之路 爱德华·弗伦克尔出生于1968年，在苏联一个叫科诺姆纳的小镇渡过了童年。 他出身于知识分子家庭，从小就显出了对科学的浓厚兴趣。 童年的爱德华并不喜欢数学，觉得数学枯燥、乏味且缺乏实用性。 他喜欢物理，尤其是关于量子力学的知识，深深让他着迷。 少年总是热爱幻想，若一个概念有些浪漫色彩，自然更容易吸引少年的心。 量子力学吸引爱德华的，是“夸克”（一种比质子、中子更基本的物质构成粒子）。夸克的物理和哲学属性让他着迷，“夸克”这一名称的来源也让他倾心——一部叫《芬尼根的守灵夜》的梦幻小说。 《芬尼根的守灵夜》和其作者詹姆斯·乔伊斯小说中的一首诗第一次以呓语的方式呈现了“夸克”，后来这一名词被物理学家采用： 冲马克先生叫三声夸克！ 他肯定没有从叫喊声中听到什么， 因为他听到的都是毫不相干的内容。 物理学家命名粒子时从文学中找灵感，这让小爱德华惊叹不已，也让他觉得科学不只是冷冰冰的逻辑和事实。 在那之前，他有很多“不务正业”的爱好，比如踢球、绘画等，一度认为自己不是干科学家的料，直到他了解提出夸克理论的诺贝尔物理奖得主盖尔曼也常常“不务正业”——爱好文学、语言学、建筑学，他才打消这种顾虑。 让爱德华喜欢上数学的，是他父亲的一位数学家朋友——叶夫根尼。 叶夫根尼看出了爱德华的聪慧和热情，想将这位充满潜力的年轻人引到数学之路。他向爱德华展示了盖尔曼夸克模型的数学基础，告诉爱德华如果要深入了解“八重道”（暗合佛教的“八正道”）和“夸克模型”（量子力学理论），就必须了解SU（3）群，要了解SU（3）群就必须先了解“对称”的概念，然后叶夫根尼给爱德华看了一些八重态的图和公式。 正是这些图和公式，让爱德华心中产生了一种前所未有的悸动，当时他还看不懂，但求索的愿望已被点燃。 八重态 在这之前，爱德华心目中的数学无非是二次方程、三角函数、微积分之类的知识，再难的问题也跳不出这些框架，通过和叶夫根尼的交流，让他窥探到了一个截然不同的、完全超乎想象的数学世界。 从此，爱德华义无反顾地踏上了数学之路，那一年他才15岁，是一个即将踏入高中的少年。 后来的求学路途并不顺畅。 爱德华的父亲是犹太人，上个世纪八十年代的苏联，对犹太人的歧视非常严重，在升学和工作中，血统是相当敏感的因素。 爱德华的姓——“弗伦克尔”明显地显示着他的犹太血统，这一点，在报考大学时给他带来了莫大的麻烦甚至羞辱。 当时苏联最好的数学专业在莫斯科国立大学，这是爱德华心仪的学校。但是从他提交报考信息后，就受到了连续不断的阻挠。 起初是招生老师暗示他放弃报考，他没有退缩，在考场上，他以优异成绩通过了笔试，而在面试时，他遭遇了明目张胆的歧视：他的数学知识在一同参加面试的学生中矫矫不群，考官每提出一个问题，别的学生还在埋头思索，他已经得出了答案并举手示意，可考官竟视而不见，硬是等其他人举手回答； 在单独面试中，别的学生问答大都简单而顺利，考官唯独对他百般刁难，比如考官问他“圆的定义”，他回答“平面上与已知点距离相等的点的集合”，考官说：“错！应该是平面上与已知点距离相等的 所有 点的集合。” 类似这样鸡蛋里挑骨头的抬杠还有不少，即便爱德华才华横溢，这样的“考试”是无论如何也过不了的。 那时爱德华还是一个十几岁的孩子，这样的经历对他的打击可想而知。他沮丧、失望，但毫无办法，最终，和父母商量后，他决定报考石油天然气学院，那里的数学系不算最好，但也不差，最重要的是，石油天然气学院是苏联为数不多的不歧视犹太学生的学校。 在石油天然气学院，爱德华结识了很多有才华的同学，他们大都是被莫斯科国立大学拒绝的学生，后来成为了世界数学界有建树的翘楚。在那里，爱德华也结识了很多德才兼备的老师，受到了数学家瓦尔琴科和富克斯的指导，旁听了莫斯科国立大学基里洛夫的理论数学课（石油天然气学院只有应用数学课程），参加了著名的盖尔范德研讨会...... 爱德华的人生转折点 有的老师虽然在莫斯科国立大学任教，但他们从不歧视犹太学生，看重的只有热情和才华，所以尽管入学时遭遇了挫折，但几年的大学生活，还是让爱德华充实了不少，不论是学术上还是精神上。 1988年，20岁的爱德华从大学毕业了，充满激情、探索和乐趣的学术生活也将告一段落，虽然大学里取得了一些不菲的成就，他的前途依然黯淡——严酷的政治环境让有犹太血统的他很难在莫斯科学术界有一席之地。 好在第二年，他收到了哈佛大学的橄榄枝——全额奖学金在哈佛的学习和研究。 这是爱德华人生的转折点，在哈佛，他遇到了来自全世界各地的优秀数学家（其中包括华裔数学家丘成桐），和他们一起学习、讨论、研究，极大地丰富了爱德华的视野和知识；在美国，他也如饥似渴地吸收当地的文化，电影、脱口秀、音乐等等，都丰富了爱德华的见闻和精神。 在良好的学术氛围中，爱德华迅速成长为世界一流的数学家，并参与了数学界的“大一统理论”——朗兰兹纲领的研究，目前，这仍然是爱德华的主攻方向，虽然经历过一些坎坷，他依然继续着童年的梦想——对数学与量子物理对称的求索。 爱与数学，爱予数学，我想，除了好奇和理想，爱，也是爱德华在数学大道上一路前行的重要力量。 数学之理 书中，“数学之路”和“数学之理”是穿插并行的，作者将学术道路每个阶段所掌握的数学原理都用尽量通俗有趣的文字介绍给读者，尽管如此，这些深奥的数学知识还是很难理解，所涉及的深度已经是某些领域的核心或前沿，比如关于对称、辫群、李代数、n维空间等等。 不过，这也非常正常，完全不用因看不懂而沮丧，即便是数学从业人员，除了他自己研究的领域，也不可能尽数理解。 爱德华在前言中就说道：某些内容一时看不懂其实无伤大雅，我在从事数学研究时，有90%的时间会有不甚明白的感觉，所以，不必紧张。困惑（有时甚至是挫败感）是数学研究的一个必不可少的组成部分。 不过，我们要看到积极的一面：如果生活中的一切都无须费力便可理解，那样的生活将会多么无聊！ 书中介绍了很多深奥的数学原理，虽然我自己连一知半解也谈不上，但皮毛之解不一定无益，下面就挑朗兰兹纲领做一些简单介绍。 朗兰兹纲领 在美剧《生活大爆炸》中，可爱的谢耳朵最终获得了诺贝尔奖，他的研究对象是弦论。弦论是大统一理论中的一种，大统一理论统一的是什么呢？ 我们都知道相对论和量子力学是二十世纪最伟大的两大理论，可它们之间存在着一些不可调和的矛盾，即四种微观粒子相互作用力——万有引力、电磁力、强相互作用力、弱相互作用力各自为阵，互不融洽，没有遵循统一的规律，如果能找到一种理论能和谐地描述四种作用力，解决量子力学和相对论的冲突，那将多么完美！ 所以从爱因斯坦到当今的理论物理学家，无不有着发现大一统理论的雄心，弦论以及后来超弦论，都是在这一征程中所发现的理论，然而离最终目标还有相当的距离。 言归正传，“朗兰兹纲领”，就是数学界的大一统理论。 数学分支领域众多，有数论、代数几何、约化群等等，它们仿佛一块块彼此隔绝的小岛，数学家们择善而居，埋头从事各自的研究。人们发现不同领域中衍生出来的各种理论其实有着一脉相承的联系，于是把各个领域统一起来的想法也就应运而生。 1967年，在一封加拿大数学家朗兰兹写给法国数学家韦伊的学术交流信件中，首次提出了朗兰兹纲领。 朗兰兹在普林斯顿大学的办公室，这曾是爱因斯坦使用过的办公室 要说明白什么是朗兰兹纲领，需要了解迦罗瓦群、李群、自守层等等的深奥概念，要讲清楚它们远超我的能力学识，普通的读者也无需深入了解，但是我们可以从最粗浅的框架一窥其奥： 我们中学都学习过，用一对数字可以表示平面上的一个点，称为“坐标”，用方程式可以表示平面诸如直线、圆等的图形，由此推广，可知数和平面是对应的，特定的图形可以转化成特定的数组，所表达的内容是一致的。 同理，数学中还有一些概念也具备这样的对应性质，如函数和层，群和范畴，这些概念有些属于数论，有些属于几何学，但是它们之间的联系不像数字和平面那么显而易见，朗兰兹纲领要做的，就是试图在貌似风马牛不相及的内容中捕捉潜在的联系，将它们统一起来。 也许有读者会提出这样的疑问：数学中各样的领域是在发展中自然产生的。 为什么要费力气将它们统一起来呢？ 首先，这是在数学研究中浸淫深入的数学家们本能的追求，支离的数学碎片散发出互相联系的信号时，也激发了只有数学家们才能体验到的神秘和诱惑，和谐统一的美感和魅力，是他们无法抵挡的。古往今来人类的很多努力，都不一定是功利物质的，对神秘的好奇，对美感的追求，一直都是人类活动的重要动力。 其次，朗兰兹纲领与量子力学有难以分割的联系，其纽带是对偶性，物理和数学中都有这一课题，这也是爱德华的研究领域。物理的对偶性典型的就是电磁理论，电磁的相互转化就是对偶性的体现； 数学的对偶性很常见，比如乘法运算的交换律：a×b=b×a。这貌似微弱的相似性，当把它们推广深化到对偶群的概念时，就会出现令数学家激动的强相关。 所以朗兰兹纲领有可能揭示量子对偶性未被发现的秘密。 再次，虽然一些基础理论科学的研究似乎看不出实用价值，但它是技术进步甚至爆发的基础，数学与物理领域中的一些看似抽象、深奥的发现，常常会带来各种创新，并在日常生活中得到应用。 比如数论中的一些成果现在已经广泛应用在网络购物，每一笔交易，都会用到其中的模N算法。此外，基础科学的发展也是一个国家文化和实力的体现，关乎国家荣誉，这与艺术、哲学等是一样的。 在美国，朗兰兹纲领的研究得到了DARPA（美国国防部高级研究计划局，the Defense Advanced Research Projects Agency）的资助，获得了高达数百万美元的资金支持，这是迄今理论数学研究获得的最高支持。 数学之美 爱德华在本书序言中提到一个悖论：一方面，我们的日常生活离不开数学，网购、用GPS导航、上网检索信息，无不需要数学公式和运算法则；另一方面，大多数人却觉得数学是一门让人头疼的学科，唯恐避之不及。 爱德华也给出了对此的解释：首先，数学的确较其他学科更为抽象，难以理解；其次，学校里教的数学是很久以前的“陈芝麻烂谷子”，现代的数学已经有了长足发展，“珍藏着琳琅满目的珍宝”，只是大多数人不得其门而入，这就像美术课只教油漆刷墙，却从不展示达芬奇和毕加索的名作。 我相信，数学造诣如爱德华之深，枯燥已不复存在，费解已化为探索的乐趣，剩下的只是神秘、好奇、攀登和成就感。 可对于初入门径的学子，要体验到这种美感，还是要在枯燥抽象的漩涡中挣扎一番的，能随随便便就获得的，那叫“快感”，不是“美感”。 作为一个非数学专业的普通人，我更是无缘数学之美，但借着作者真诚激情的文字，对数学和数学家有了更美好的印象。 以前，我以为包括数学家在内的科学家，大概是《生活大爆炸》中谢耳朵的形象——聪明却执拗，骄傲而单纯，在自己的领域鲜有匹敌，生活其他方面却显得有些幼稚低能，虽没有如电视表现的那般夸张，但或多或少都会有这些气质。 而爱德华有着完全不同的形象，他热爱艺术，生活丰富，富有激情，爱憎分明，没有一点“呆气”，反而“灵气”满满。 以前，我以为数学研究是这个世界上第二枯燥的工作（第一枯燥是在实验室摇瓶子），每天对着一大堆数字、公式和图表苦思冥想，这得需要多大的毅力才能坚持啊！ 而爱德华在书中却展现出，数学研究如艺术创作一样，是一个激情四射的求索过程，是一种个性十足的体验，需要热情，需要奉献精神，需要全身心投入，从中体验到的是思考的快乐、解决难题的成就感，其中当然有困惑和挫折，但更多的是心流和幸福。 数学之美是独特的，这在于数学规律是客观现实，而不是感官现实，它是一种独立存在，与人类意识无关的东西。 没有乔布斯，也许不会有现在的苹果手机，但没有哪一个数学家敢宣称没有自己，某条原理就不会出现，更没有人去为某个公式申请专利。 因为数学表达的，是宇宙的永恒真理，它对一切众生，不论肤色年龄性别种族，都是平等的，它无法私有，只能共享。 正如爱德华在书中的感叹：在这个世界上，再也没有其他任何事物能像数学那样深奥、典雅而又不属于某个人的了！