精彩点评
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枫推荐
这是一本绝逼力赞的好书，把上帝的语言聊的情趣兼备，首先开宗明义就把微积分从奥义的神殿拿下，但又把他安放在了理性桂冠之上，微积分就是人类用来解决非线性的几何，运动，和变化问题的，由此展开了人类长达两千多年关于这三个问题的思索，从芝诺悖论，到阿基米德，亚里士多德，笛卡尔，伽利略，等等直至牛顿和莱布尼茨彻底完善了微积分，尤其是莱布尼茨关于”无穷”的哲学解释让我印象极为深刻，也第一次验证了我对哲学和数学二者关系的理解，哲学是比数学广延更为广阔和深刻的理性思考，数理逻辑仅仅只是理性逻辑的的一个子集，不具备哲学思考的数学学习，充其量不过是蹩脚的计算而已。另外作者没有止步于此，进一步讲述了微积分对于近当代科学的贡献，包括了麦克斯韦方程组，广义相对论，傅里叶变换，以及生物工程，和人工智能等等，并且指出了其发展依旧没有走到尽头，在人类理解高维世界的全宇宙观上依旧是充满活力的终极工具，所以才有了上帝语言的美誉。即使有如此繁杂的内容，作者却写的浅显易懂，完全可以当做畅销读物来带着快感阅读，而对于读者要求门槛很低，自我感觉只要有高中入门级基础就足以，但一定要带着足够的好奇，足够谦卑，足够的进取心，以及窥视宇宙终极奥秘，和对理性的致敬来阅读此书。
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贾云峰推荐
为什么宇宙是可理解的，为什么微积分会与其步调一致？ 这个世界是一台精密的机器，等待着大家去揭晓其中的一个个秘密
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paul推荐
◆ 由微积分主宰的世界 >> 麦克斯韦的电磁波预测促使海因里希·赫兹在1887年做了一项实验，从而证明了电磁波的存在。10年后，尼古拉·特斯拉建造了第一个无线电通信系统；又过了5年，伽利尔摩·马可尼发送了第一份跨越大西洋的无线电报。接下来，电视、手机和其他设备也陆续出现了。 ◆ 无穷原则 >> 因此，微积分可分为两个步骤：切分和重组。用数学术语来说，切分过程总是涉及无限精细的减法运算，用于量化各部分之间的差异，这个部分叫作微分学。重组过程则总是涉及无限的加法运算，将各个部分整合成原来的整体，这个部分叫作积分学。 ◆ 曲线、运动和变化 >> 这些想法共同构成了微积分的前半部分——微分学。它不仅是在研究不断变化的运动时处理无穷小的时间和距离变化所需的理论，也是在解析几何（主要研究由代数方程定义的曲线，在17世纪上半叶风靡一时）中处理无穷小的曲线平直部件所需的理论。的确，代数曾一度令人疯狂。它的普及对包括几何学在内的所有数学领域来说都是一大福祉，但它也创造出诸多难以驾驭的新曲线，有待人们去探索。17世纪中期，位于微积分舞台中央的曲线之谜和运动之谜相互撞击，在数学界引发了混乱和困惑。走出喧嚣之后，微分学渐趋成熟，但仍有争议。有些数学家因为草率地利用无穷而受到批评，有些数学家则嘲笑代数就是一堆符号的拼接。在这样的争吵声中，微积分的发展时断时续，非常缓慢。 ◆ 作为桥梁的无穷 >> 微积分最初是几何学的产物 ◆ 实无穷之罪 >> 致使我们陷入这种混乱局面的“罪行”是，假装我们真能到达极限，并把无穷当作一个可达到的数字。早在公元前4世纪希腊哲学家亚里士多德[插图]就警告说，在无穷的问题上犯这样的错误可能会招致各种逻辑悖论。他强烈反对实无穷[插图]，并认为只有潜无穷才有意义。 在切分线段的例子中，潜无穷意味着，尽管这条线段可以被分成任意多段，但数量总是有限的，每小段的长度也都不为0。这种做法是完全允许的，不会带来任何逻辑问题。 而禁忌的做法是，继续切分下去，直到这条线段被分成实无穷段，并且每小段的长度为0。亚里士多德认为这会招致谬论，比如在切分线段的例子中，我们得出了0乘以无穷可以等于任意数的结论。 ◆ 芝诺悖论走向数字化 >> 任何连续的事物都可以被精确地（而不只是近似地）切分成无穷多个无穷小的部分，这就是无穷原则。在极限和无穷的帮助下，离散和连续融为了一体。 ◆ 夹逼法与圆周率 >> 应用程序根据我的身高估算出我的步长，并计数我走的步数，然后将这两个数字相乘。那么，我走过的距离就等于步长乘以步数。 ◆ 圆周率之道 >> 就其本身而言，微积分是用无穷来研究有穷，用无限来研究有限，用直线来研究曲线。无穷原则是解锁曲线之谜的钥匙，而且它最早出现在圆周率之谜中。 ◆ 阿基米德方法 >> 正如他说的那样：“相比没有任何知识基础，如果我们之前已经利用这种方法获得了与问题相关的某些知识，那么论证起来就会更容易。” >> 阿基米德从它的垂直线连续体中选出一个点——重心来代表整体。 ◆ 伽利略出场 >> 尽管望远镜并不是伽利略发明的，但他对望远镜做出了改进，并且是第一个利用它取得重大科学发现的人。1610-1611年，他观测到月球上有山，太阳上有斑点，以及木星有4颗卫星（从那时起，人们又陆续发现了其他卫星）。 所有这些观测结果都是对当时主流教条的公然违抗。月球上有山意味着它并不是一个闪闪发光的完美天体，这与亚里士多德的学说相悖。同样地，太阳上有斑点意味着它也不是一个完美的天体，而是有瑕疵的。由于木星及其卫星看起来就像一个小行星系，4颗小卫星围绕着一个更大的中央行星运行，所以很显然，并不是所有天体都围绕着地球转动。而且，即使这些卫星在天空中移动，它们也总会伴随在木星旁边。 ◆ 从摆动的吊灯到GPS >> 对GPS而言，它的工作原理是：当接收器收到来自4颗卫星的信号时，你的GPS设备会比较信号的发送时间和接收时间。这4组时间略有不同，因为这4颗卫星和你之间的距离并不一样。你的GPS设备将这4个微小的时间差乘以光速，就可以计算出你和这4颗卫星之间的距离。由于卫星的位置已知，并且受到极其精确的控制，因此你的GPS接收器可以对这4个距离做三角测量，从而确定它自己在地球表面的位置。此外，它还可以计算出自己的海拔和速度。本质上，GPS是将非常精确的时间测量值转换为非常精确的距离测量值，然后进一步转化为非常精确的位置和运动测量值。 >> GPS是由美军在冷战期间开发的，它的初衷是追踪携带核导弹的美国潜艇，并为它们提供当前位置的精密估计值，以便在需要发动核打击的时候，能使它们的洲际弹道导弹十分精确地瞄准目标。 ◆ 开普勒与行星运动之谜 >> 在进行了一次计算后，开普勒哀叹道：“亲爱的读者，如果你对这些单调乏味的计算步骤感到厌倦，就请可怜一下我吧，因为我至少做了70次这样的计算了。” ◆ 开普勒第三定律：行星的公转周期 >> 令开普勒欣喜若狂的数字规律是，他发现行星公转周期的平方与该行星到太阳的平均距离的立方成正比。也就是说，对所有行星而言，T2/a3的值都是相同的。在这里，T表示行星绕太阳一周的时间（地球是1年，火星是1.9年，木星是11.9年，等等），a表示该行星到太阳的距离 ◆ 开普勒与伽利略的异同点 >> “亲爱的开普勒，我希望我们能嘲笑这些极其愚蠢的人。你会如何评价这所大学里那群著名的哲学家呢？他们像吃饱了的蛇一样固执己见，尽管我无数次地尝试邀请他们，但他们还是拒绝看行星、月亮，还有我的望远镜。” ◆ 第4章 微分学的黎明 >> 从现代的角度看，微积分包含两个方面。微分学把复杂的问题分割成无穷多个简单的部分，而积分学则把这些部分重新组合到一起，去解决原本那个更复杂的问题。 >> 之后，符号化的代数与几何学相结合，产生了一个更加强大的混合体——解析几何。 ◆ 代数的兴起与几何学的衰落 >> 250年前后，中国几何学家刘徽改进了阿基米德计算圆周率的方法。两个世纪后，祖冲之将刘徽的方法应用于24 576边形，并通过绝对称得上壮举的计算，把圆周率的虎钳收紧到8位数： 3.141 592 6＜π＜3.141 592 7 >> 印度数学家发明了零的概念和十进制计数法。 >> （今天我们用x、y和z表示未知量，以及用a、b和c表示常量的方法，大约是在17世纪40年代由勒内·笛卡儿率先开始使用的） ◆ 代数与几何学的邂逅 >> 通过这种思想的汇聚，不起眼的图表将数、关系和形状混合在一起，实现了算术、代数与几何学的融合。经过几个世纪的独立发展，不同的数学分支此时聚集在一起，这才是最重要的事。（回想一下，古希腊人在让几何学凌驾于算术和代数之上后，不让或者很少让它们相互结合。） 另一次跳跃涉及水平轴和垂直轴，我们常用变量来为它们命名，即x轴和y轴。这些轴是数轴，顾名思义，数被表示成直线上的点。就这样，算术与几何学结合在一起，甚至在我们还没有标示任何数据的时候，它们就已经结合起来了！ ◆ 费马vs笛卡儿 >> “古人教给我们的东西太少了，而且绝大多数都缺乏可信度，除非避开他们走过的所有路，否则我根本不可能找到一条通往真理之路。” ◆ 费马如何帮助了美国联邦调查局？ >> 模式是让数据压缩成为可能的首要条件。只有模式化的数据才能被压缩，而随机数据则不行。 >> 子波最能胜任这项工作。洛斯阿拉莫斯国家实验室的数学家与美国联邦调查局合作，把指纹表示成许多个子波的组合，并利用微积分使它们最优化，从而将指纹档案缩小了20倍以上。这是法医学领域的一次革命。 ◆ 非线性函数及其不断变化的变化率 >> 因为当x变大时，斜率（2x）也应该变大，抛物线应该变得更陡峭，而且事实的确如此。 这个抛物线实验有助于我们理解关于导数的一些注意事项。只有当被放大的曲线逼近极限直线时，我们才能定义导数。而对某些病态曲线来说，情况就不一样了。比如，如果有一条曲线呈V形，即在某个点上有一个尖角，那么当我们放大这个点时，它看起来仍然像一个角。无论放大多少倍，这个角都不会消失，曲线看上去也永远不会像直线。因此，V形曲线在拐角处没有明确的切线或斜率，在这一点上也就没有导数。 然而，如果一条曲线在任何一点处被充分放大之后，它看起来越来越直，我们就说这条曲线是光滑的。在本书中，我一直像先驱那样，假设微积分的曲线和过程都是光滑的。 ◆ 作为瞬时速度的导数 >> 正如某一点的斜率那样，瞬间速度也是一个导数。 ◆ 第7章 隐秘的源泉 >> 17世纪下半叶，英国的牛顿和德国的莱布尼茨彻底改变了数学的进程。他们把关于运动和曲线的思想松散地拼凑在一起，创立了微积分。 ◆ 面积、积分和基本定理 >> 早在30年前（17世纪40年代），费马和笛卡儿就发现了利用代数找到曲线的最大值、最小值和切线的方法。 ◆ 恒定的加速度 >> 我们的最终目标是找到牛顿基本定理的通用几何版本，它是用抽象曲线y(x)及其下方的累积面积A(x)表示的。尽管累积面积的概念是解释这个定理的关键，但我意识到我们需要一些时间来适应这个概念，所以在用它来处理抽象的几何实例之前，我们先将它应用于一个更加具体的运动问题。 假设有一个以恒定加速度运动的物体，这意味着它的速度会越来越快，并且以恒定的速率增加，和汽车起步时踩油门的情况差不多。1秒钟后，汽车可能以10英里/小时的速度行驶；2秒钟后，速度变为20英里/小时；3秒钟后，速度变为30英里/小时，以此类推。在这个假设性的例子中，汽车的速度每过1秒就会增加10英里/小时，这个速度变化率被定义为汽车的加速度。（ ◆ 用油漆滚筒证明基本定理 >> 尤其要注意，它不必是经典曲线，它有可能是某个方程在xy平面上定义的一条新奇的曲线。或者，如果这条曲线是由物理学感兴趣的事物来定义的，比如一个粒子的运动轨迹或者一道光线的传播路径，那么我们是否有办法系统地算出它下方的面积呢？这就是面积问题，也是我在前文中提到的微积分的第三个核心问题，还是17世纪中期最紧迫的数学挑战和曲线之谜中的最后一个未解难题。牛顿利用在运动和变化之谜中获得的启发，从一个新的方向走近这个问题。 从历史上看，解决这类问题的唯一方法就是头脑够聪明。你必须找到某种巧妙的方法把一个曲边区域切分成条块，或者把它打成碎片，然后在你的脑海中重新组合这些条块或碎片，或者像阿基米德那样在假想的跷跷板上称出它们的重量。 ◆ 积分学的圣杯 >> 因此，面积是一个积分，它是所有碎片重新拼凑起来的整体，是无穷小变化的累积。就像导数比斜率重要一样，积分也比面积重要。 ◆ 局部vs整体 >> 微分是一种局部操作。 >> 而积分是一种整体操作 ◆ 玩转幂级数 变量就像一个旋钮可以不断调整区域的形状。 >> 这是牛顿的第一个创举。使用变量x的好处在于，就像转动一个旋钮一样，他可以不断调整这个区域的形状。 >> 这是牛顿的第一个创举。使用变量x的好处在于，就像转动一个旋钮一样，他可以不断调整这个区域的形状。 ◆ 2.001的立方 >> 某个部分中Δx的指数越大，其数值就越小。每多乘以一次微小的因子Δx，都会让一个小的部分变得更小，这就是各个部分大小不同的原因。 ◆ 第9章 宇宙的逻辑 >> 但在大约5亿年前，多样性惊人的多细胞生物突然出现，生物学家称之为寒武纪大爆发。在仅仅几千万年的时间（进化历程的一瞬间）里，很多主要的动物门类突然涌现出来。同样，微积分是数学领域的“寒武纪大爆发”。它一旦到来，数学领域的惊人多样性就开始“进化”产生。它们的“谱系”可以从以微积分为基础的名称中识别出来，比如微分几何、积分方程和解析数论。 ◆ 自然的逻辑 >> “自然拥有数学内核，自然现象可以从引力和运动定律等经验性公理通过逻辑推导得出”，牛顿的这些想法让他们目瞪口呆。 ◆ 牛顿微积分与《独立宣言》 >> 总统任期届满后，杰斐逊在1812年1月21日写信给老朋友约翰·亚当斯，讲述了他远离政治的愉悦感：“我不再看报纸，而改为阅读塔西佗、修昔底德、牛顿和欧几里得的著作，我发现自己更快乐了。” ◆ 常微分方程与偏微分方程 >> 一般地说，常微分方程描述的是，某个因素的无穷小的变化（比如无穷小的时间增量）如何引起其他因素（比如行星的位置和病毒颗粒的浓度）的无穷小的变化。这样的方程之所以被称为“常”微分方程，是因为它们只有一个自变量。 ◆ 偏微分方程与波音787客机 >> 波音公司的研发团队一如既往地采用了阿基米德方法：先把大问题切分成若干小问题，解决所有小问题后再把它们拼合在一起。这是实践版的无穷原则，也是微积分所依赖的分治策略。 ◆ 为什么微波炉最初被称作雷达灶？ >> 波动方程最初是作为音乐与振动弦的关联产物被发现的，最终被麦克斯韦用来预测电磁波的存在。 ◆ CT与脑成像 >> CT扫描中的C代表computerized（电子计算机化的），T代表tomography（断层成像），指的是通过把某个物体切成薄片，使其实现可视化的过程。CT扫描利用X射线，一次一个切片地为某个器官或组织成像 >> CT不能直接看见大脑，它看见的只是大脑中的X射线吸收图样。 ◆ 微积分与计算机联盟 >> 在数学模拟中，计算机利用恰当的微分方程和一个个小增量来更新炮弹的位置和速度，然后通过海量的加法运算（蛮力算法）得出答案，从而使一枚理想的炮弹沿它的飞行轨迹小步前进。
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Exile推荐
因为要考研，对高数没有太大兴趣，但最近有个感兴趣的版块——元宇宙，感觉想了解它还是得回到数学，回到微积分。[憨笑]打开之前有些许犹豫，顾及里面的内容可能太深奥而看不懂，整体读完才发现，作者尽其所能采用了通俗易懂的语言对微积分的历史、理论基础、实际应用以及未来前景做了精炼的阐述。当然，里面有些公式的推到过程确实让人颇感头疼，但这丝毫不能妨碍我们理解作者预向读者展现的微积分图景。科普著作，值得品读～[玫瑰]
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蒲公英推荐
这么优秀的科普书如果是中国人写的就好了。连最后的感谢都写得那么生动又真诚。
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杨晓伟推荐
静变动，直变曲，有限变无限，微积分不仅仅是数学的伟大成就，更是自然选择书写奥秘的工具。
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老白推荐
理性的力量——《微积分的力量》读后感 花了半个月读完了《微积分的力量》这本书，微信读书给它的评价是“神作”。私以为，神作倒真是算不上。但它真做到了把人人畏之不及的微积分写得这么生动有趣，有滋有味，令人掩卷沉思。如果我在高中时代，能读上这样一本书，相信我在数学上的用功会更勤，学数学的积极性会更高。我想这就是本书的力量吧。 微积分是找到自然律的钥匙，曲线、运动、变化在它面前，逐渐现出本相。人类的好奇心一代代累积，到了牛顿，大自然隐藏着的属性终于可以解释了。从人类的第一个常微分方程：f=ma开始，一代代的科学家经过不懈的努力似乎解开了宇宙的卷轴。乐观之后才发现，差得远呢！原来，非线性的微分方程是无解的。我喜欢这样的结论，如果宇宙真是决定论的，同时是可预测的，那生命又有什么乐趣呢。难道只是解出一个个难度越来越大的方程吗？ 作者除了带给我们思考外，同时写了一些感人的故事。生于1850年的索菲娅，作为女性历史上第一个女博士，治学与爱情无法两得。死于肺炎的她，生后虽然获得了世人的赞美，但她最爱的男人，却在给她入葬的致辞时，丝毫不提他们之意的感情，更像是提起一位他相熟的教授（见艾丽丝·门罗《幸福过了头》）我在晚上给孩子讲这个女数学家的故事时，他好奇地问：然后呢。 因为妈妈的病，我学过如何看CT片、也给妈妈做了PET-CT。没想到这些发明都与微积分有关。让我惊叹数学力量的强大，普渡众生是最大的慈悲，不由对数学家生出无比敬意来。 又不得不对当前教育发一点点感慨。是什么让学习科学这么索然无味。如果一个孩子能在这么有趣引导下学习知识，懂得知识的价值，我想他的求知欲会更强。掌握并发展科学，是青年一代的使命。让题海战术、填鸭式数学见鬼去吧。 我非常建议父母们把这本书推荐给自己十几岁的子女们读一读。
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暴力熊卍推荐
我第一次接触微积分是在大学一年级，数学教研室主任亲自授课，把我带入了一个奇妙的世界，没过几节课，我就沉浸于在设定区间内无限制造正方形求解不规则面积的计算之中，更善于运用洛必达法则化解无穷比值。不过读完本书发现，大学对微积分的理解虽然正确，但是却对应用和拓展毫无概念，只是一个做题通关的入门者。本书以微积分学科的产生、论证、丰富和发展为主要内容，描述了人类在每个领域的变化框架，作者甚至断言，通过正确运用无穷，微积分可以解开宇宙的奥秘。 众所周知，外界现象引导我们提出数学问题，而我们的数学想象有时也会预言现实世界中的事情，充满神秘色彩的蝴蝶效应，就是非线性混沌原理在复杂系统中的解答，初始条件的微小变化以及若干自变量之间的相互影响，往往会造成难以预料的结果。可是人类的大脑系统无法超越三维空间去感知世界，借助微积分这个抽象符号，通过方程转换和系统推理，能够建立起逻辑世界与现实世界的桥梁，让复杂问题简单化，从一次到多次不等的求导或者多重积分，揭示变化之谜，用极限给出答案。 站在巨人的肩膀上，我们可以看得更远。笛卡尔、伽利略、牛顿、莱布尼茨等伟大数学家的天赋让人惊叹，他们在数学实验、模式识别、启发性猜测中展现出强大的逻辑能力，如群星般璀璨，照亮了人类文明进步的道路。如果读者有一定基础，闲来可以看看本书，正如费曼所言，“你最好学学微积分，它是上帝的语言”。
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潇筱其蜚推荐
一切结论藏于前提； 一切真理藏于假设。 局限的假设推出局限的真理； 有限的假设推出无限的真理。
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琴酒x推荐
微积分真是简洁又优美的理论，现代科学如果少了微积分。科技的进步将会微乎其微。 刚刚上高中的时候学到了微积分感觉自己的思维一下就拓展了，这个简单的理论背后有着许多智慧先驱的智慧累积。 活在当下就感觉置身于科幻世界一样，互联网的诞生和计算机的普及深深的影响着我们，各种高新技术的诞生让我震撼不已，我很庆幸生活在这个时代，但同时也对自己的无知感到遗憾，好在能通过书籍感受到数学带给我的美感。 这本书我感觉可以作为我的经典作品，等以后来再读或许又有别样的感受。
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Xavier推荐
宇宙为什么是可理解的？微积分为什么总是和它步调一致？ 微积分也许让人感觉过分高冷，我感慨于各类公式的冰冷，也感慨于各类数学家的天才般思想。 也许不是我们发现数学，而是数学发现我们。 上帝的语音！
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AzureKang推荐
有趣至极！读着读着抽象画面纷至沓来！嘿嘿…没想到这本书会带给我这么多的艺术灵感[色]
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罗壮推荐
数学有一种十分和谐的美，它就静静的躺在那里等着人们去发现，微积分作为一个超级强大的数学工具，并不是在牛顿和莱布尼茨时代突然冒出来的，早在阿基米德时期，就已经有了一些微分方面的应用，阿基米德有一些十分超前的方法论，在解决很多数学难题方面，都广泛运用了无限分割的思想，看完本书，也能对牛顿那句站在巨人的肩膀上有了更深的理解。 跟随本书的内容，逐步了解微积分的发展演化过程，偶尔get到的一些点也确实能打开新思路，不像大学同济版高等数学，一上来给你整大招，学完之后回过头来看，同济版高数知识点确实很完备，适合考试前回顾知识点，但是学的过程太不友好了。
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李晨曦推荐
作为飘浮在一个中量级星系中的一颗微不足道的行星上的一个无足轻重的物种，智人是如何成功预测出，在距离地球10亿光年之遥的浩瀚宇宙中的两个黑洞相撞后，时空会发生怎样的震颤呢？我们早在引力波到达地球之前就知道它的声音应该是什么样子了。而且，多亏有微积分、计算机和爱因斯坦，我们的预测是正确的。 引力波是人类有史以来听过的最微弱的耳语。在我们成为灵长类动物之前，在我们成为哺乳动物之前，甚至在我们还是微生物的时候，这种轻柔而微小的波就已经开始朝我们漾来。当它在2015年的那一天抵达地球的时候，因为我们正在倾听，也因为我们通晓微积分，所以我们才能听懂这轻柔的耳语意味着什么。
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大耳朵豆豆推荐
宇宙为什么具有可理解性？ 音乐和数字有什么关系？ 数字是自然的还是人造的？ 这本书写的很好，很多地方有启发意义，但也许可以写得更好